Séminaire de Mathématiques et Colloquium
Conférence à venir :
Jeudi 7 décembre 2023 à 14h
Arthur Leclaire
(Telecom Paris)
Transport Optimal pour la Synthèse d’Images.
Le transport optimal fournit un moyen de mesurer la proximité entre deux distributions de probabilité. Ses applications nombreuses comptent, parmi elles, différentes tâches de traitement des images. Cet exposé vise à détailler l’application du transport optimal à des problématiques de synthèse d’images. On s’intéressera en particulier au problème d’apprentissage de réseaux génératifs Wasserstein, qui consiste à trouver, parmi une famille paramétrique de lois, celle qui est le plus proche d’une distribution cible (associée à des données) en terme de coût de transport optimal.
La première partie de l’exposé consiste en une introduction au transport optimal pour le traitement d’images. Dans la deuxième partie, on montrera comment la formulation duale du transport optimal permet de formuler et d’étudier un algorithme d’optimisation alternée pour l’apprentissage d’un réseau génératif. Enfin, dans la troisième partie, on montrera comment adapter ce modèle génératif de façon à répondre à une problématique de synthèse d’images de textures à partir d’un échantillon.
Jeudi 7 décembre 2023 à 15h
Jonas Schnitzer
(Univ. Freiburg-im-Breisgau)
Deformations of Lagrangian Q-submanifolds.
N-graded symplectic Q-manifolds encompass a lot of well-known mathematical structures, such as Poisson manifolds, Courant algebroids, etc. Their Lagrangian Q-submanifolds are of special interest, since
they simultaniously generalize coisotropic submanifolds, Dirac-structures and also serve as boundary conditions in AKSZ sigma models. In this talk we set up their deformation theory inside a symplectic Q-manifold via strong homotopy Lie algebras, which generalizes knows results including the deformation theory of coisotropic submanifolds and Dirac structures.
This is a joint work with Miquel Cueca.
Prochains exposés :
Le transport optimal fournit un moyen de mesurer la proximité entre deux distributions de probabilité. Ses applications nombreuses comptent, parmi elles, différentes tâches de traitement des images. Cet exposé vise à détailler l’application du transport optimal à des problématiques de synthèse d’images. On s’intéressera en particulier au problème d’apprentissage de réseaux génératifs Wasserstein, qui consiste à trouver, parmi une famille paramétrique de lois, celle qui est le plus proche d’une distribution cible (associée à des données) en terme de coût de transport optimal.
La première partie de l’exposé consiste en une introduction au transport optimal pour le traitement d’images. Dans la deuxième partie, on montrera comment la formulation duale du transport optimal permet de formuler et d’étudier un algorithme d’optimisation alternée pour l’apprentissage d’un réseau génératif. Enfin, dans la troisième partie, on montrera comment adapter ce modèle génératif de façon à répondre à une problématique de synthèse d’images de textures à partir d’un échantillon.
N-graded symplectic Q-manifolds encompass a lot of well-known mathematical structures, such as Poisson manifolds, Courant algebroids, etc. Their Lagrangian Q-submanifolds are of special interest, since
they simultaniously generalize coisotropic submanifolds, Dirac-structures and also serve as boundary conditions in AKSZ sigma models. In this talk we set up their deformation theory inside a symplectic Q-manifold via strong homotopy Lie algebras, which generalizes knows results including the deformation theory of coisotropic submanifolds and Dirac structures.
This is a joint work with Miquel Cueca.
Conférences passées :
La théorie des Yangiens a été introduite par Drinfeld dans les années 80 en tant qu’approche systématique pour résoudre l’équation de Yang-Baxter. Récemment, Gautam, Toledano Laredo et Wendlandt ont présenté une alternative à la construction de la R-matrice pour le Yangien du type fini, qui s’avère être considérablement plus générale que la méthode originale de Drinfeld au niveau des représentations. Dans cette présentation, je vous offrirai un aperçu de ce résultat tout en exposant sa généralisation aux Yangiens de types affines. Ces développements sont issus d’une collaboration avec S. Gautam et C. Wendlandt.
Consulter le résumé ici
Dans cet exposé, je vais donner un aperçu des barycentres de Wasserstein. Le barycentre de Wasserstein correspond à la moyenne de Fréchet (une généralisation de la moyenne pour les espaces métriques) d’une variable aléatoire sur l’espace Wasserstein d’ordre 2. L’espace Wasserstein d’ordre 2 est l’espace de mesures de probabilités de moment d’ordre 2 fini, muni d’une métrique induite par la théorie de transport optimal. Je vais commencer par donner une petite résumé des outils de transport optimal dont nous aurons besoin. Ensuite je vais présenter quelques propriétés analytiques du barycentre de Wasserstein et expliquer les difficultés liées à l’étude de cet objet. Enfin, nous allons étudier le propriétés probabilistes dont la loi des grandes nombres et une idée heuristique de la théorème centrale limite qui peut être rendue rigoureuse en introduisant une régularisation du barycentre.
Dans cet exposé je présente de nouvelles q-déformations d’algèbres de Lie liées au groupe modulaire et aux q-rationnels de Morier-Genoud et Ovsienko. En particulier, nous analysons une déformation de l’algèbre de Lie sl2 et de l’algèbre de Witt, l’algèbre des champs de vecteurs sur le cercle. Ces déformations proviennent d’une réalisation par des opérateurs différentiels concrets et mènent à des homographies intéressantes sur le plan hyperbolique.
Due to its nice geometric properties and an astonishing number of applications, probably one of the most intensively studied metrics nowadays is the p-Wasserstein metric. Given a complete and separable metric space M and a positive real number p, one defines the p-Wasserstein space Wp(M) as the set of all Borel probability measures with a finite p-th moment, endowed with a metric which is calculated by means of transport plans.
First I will talk about Kantorovich’s transport problem. After that, I will define the so-called p-Wasserstein metric, and show some nice features of it. In the second part of the talk, I will focus on isometries. The question is how does an isometry of a p-Wasserstein space look like? One can show that if F is an isometry of M, then its push-forward F# is an isometry of Wp(M). In other words, the isometry group of M embeds into the isometry group of Wp(M). A natural question arises: is this embedding surjective? In most of the known cases, the answer is yes. However, there are examples where the Wasserstein space admits « exotic isometries ». The goal of the talk is to present these exotic isometries.
Les algèbres de Hopf de la renormalisation ont vocation à représenter le groupe de renormalisation en théorie quantique perturbative des champs, qui est un groupe de difféomorphismes formels. Ceci est possible seulement si l’algèbre de Hopf est commutative, mais en électrodynamique quantique l’algèbre de renormalisation ne l’est pas. Dans cet exposé, j’explique comment cette algèbre de Hopf non commutative peut bien représenter les difféomorphismes formels de manière standard (fonctorielle), si on renonce à l’associativité de la composition et on les considère comme un « loop » (groupe non associatif).
Dulac’s problem studies if an analytic two dimensional vector field defines a finite number of limit cycles in some neighborhood of a singular point. Y. Ilyashenko and J. Ecalle gave a positive answer to this problem in the years 1991-1992. The vector fields that are perturbations of linear centers in R^2 form a family of vector fields for which Dulac’s problem is easily solved studying analytic diffeomorphism given by the first return map.
In this work, we consider the family H_3 of perturbations of linear centers in R^3 and solve the problem of finiteness of limit cycles, related with the classical Dulac’s problem.
Real generalized analytic functions are locally defined as sums of convergent generalized power series with coefficients in the real numbers; that is, power series whose exponents belong to a product of well-ordered sets of positive real numbers. In this talk we will introduce generalized analytic manifolds and the blowing-up morphisms between them. We will see that blowing-ups may exist or not depending on the existence of an “standard analytic substructure”. We will state several results of reduction of singularities for generalized analytic functions and we will expose with details the “stratified version”. This is a work in collaboration with Jesús Palma Márquez and Fernando Sanz Sánchez.
On utilise de nouvelles approximations (rationnelles) de l’exponentielle d’une matrice et de fonctions associées (« phi functions ») pour définir des schémas numériques pour les EDO. Divers tests montrant l’efficacité de ces schémas sont présentés.
In this talk, we present a posteriori estimates for finite element approximations of nonlinear elliptic problems satisfying strong-monotonicity and Lipschitz-continuity properties. These estimates include, and build on, any iterative linearization method that satisfies a few clearly identified assumptions; this includes the Picard, Newton, and Zarantonello linearizations. The estimates give a guaranteed upper bound on an augmented energy difference reliability with constant one, as well as a lower bound efficiency up to a generic constant. We prove that for the Zarantonello linearization, this generic constant only depends on the space dimension, the mesh shape regularity, and possibly the approximation polynomial degree in four or more space dimensions, making the estimates robust with respect to the strength of the nonlinearity. For the other linearizations, there is only a local and computable dependence on the nonlinearity. Numerical experiments illustrate and validate the theoretical results, for both smooth and singular solutions.
Dans cet exposé, nous montrerons une connexion entre les structures de régularité développées pour les équations aux dérivées partielles stochastiques et les chemins rugueux géométriques. Celle-ci est réalisée en identifiant l’algèbre de Hopf de Butcher-Connes-Kreimer déformée avec un quotient de l’algèbre de Hopf de shuffle. Ce nouveau résultat algébrique s’appuie fortement sur le formalisme de déformation
et des structures post-Lie récemment introduites dans le cadre des structures de régularité.
Consulter le résumé ici.
A Lie 2-group is a groupoid on the category of Lie groups just like Lie groupoids are groupoids in the category of manifolds. To expand this logic, we get PB-groupoids as groupoids in the category of principal bundles, this is, a Lie groupoid with a free and proper action of a Lie 2-group (free and properness implies that the quotient space is still a Lie groupoid). On another context, bundles gerbes are well-studied objects, and are also described as a quotient of a Lie groupoids. In this talk we will introduce more slowly all these objects and prove that see that bundles gerbes sit inside PB-groupoids.
On considère une plaque élastique 3 dimensionnelle de petite épaisseur fixée sur un support sur son bord inférieur. La plaque va être déformée par les forces du corps (comme la gravité), ou bien parce que la loi du comportement du matériau est liée à une géométrie du domaine au repos incompatible avec la géométrie ambiante, tandis que la partie fixée sera restée sur place. On commence par une modélisation variationnelle de ce phénomène dans le cadre de l’élasticité non-linéaire 3d. Un premier problème est d’obtenir des modèles variationnels limites en comprenant comment l’hypothèse de support passe à la limite à l’épaisseur 0. On expliquera l’approche de la $\Gamma$-convergence, basée sur laquelle on s’attend à voir une hiérarchie des modèles de plaques obtenus selon les paramètres imposés. Dans un deuxième pas, dans chaque cas, le modèle de limite- pour les
déformations d’une plaque mince sujet à une contrainte de support- sera à son tour la case du départ pour un problème de support optimal.
Ce travail est une collaboration avec Antoine Lemenant.
$$ \min_{y_1,\hdots,y_N\in\mathbb{R}^N} F(y_1,\hdots,y_N) := \mathrm{W_2}\left(\frac{1}{N}\sum_{1\leq i\leq N}\delta_{y_i},\rho\right),$$
Etant donne un feuilletage sur une variete compacte, les formes basiques sont les formes differentielles qui s’expriment localement en termes des variables transverses. L’espace des formes basiques est preserve par la differentielle exterieure, ce qui permet definir la cohomologie basique. Cette cohomologie a ete etudiee dans plusieurs contextes et en particulier sur des feuilletages riemanniens. Etant donnee une metrique riemannienne, l’adjoint de la differentielle exterieure preserve le complement orthogonal des formes basiques, and la cohomologie definie a partir de cet adjoint sera appellee la »cohomologie antibasique ». Ainsi, nous etudions les proprietes de cette cohomologie et montrons un theoreme de Hodge antibasique. Aussi nous etablissons quelques relations entre la cohomologie basique, antibasique et celle de la variete ambiante.