Séminaire de Mathématiques et Colloquium

Conférence à venir :

Jeudi 30 mai 2024 à 14h en salle K_100
Damien Rivollier
(Metz)

Conway-maps et générateurs pseudo-aléatoires.

Les Conway-maps donnent un cadre à un certain nombre de questions de dynamique dont l’énoncé est extrêmement simple. Pourtant, ces questions restent ouvertes (et les travaux de Conway laissent même à penser qu’elles le resteront longtemps). Il s’agira d’interpréter ces questions, pourtant parfaitement déteministes, en termes probabilistes, et d’en déduire une réflexion sur l’utilisation des Conway-maps pour la conception de générateurs pseudo-aléatoires.

Prochains exposés :

Les Conway-maps donnent un cadre à un certain nombre de questions de dynamique dont l’énoncé est extrêmement simple. Pourtant, ces questions restent ouvertes (et les travaux de Conway laissent même à penser qu’elles le resteront longtemps). Il s’agira d’interpréter ces questions, pourtant parfaitement déteministes, en termes probabilistes, et d’en déduire une réflexion sur l’utilisation des Conway-maps pour la conception de générateurs pseudo-aléatoires.

Recent works in time-frequency analysis proposed to switch the focus from the maxima of the spectrogram toward its zeros, which form a random point pattern with a very stable structure. Several signal processing tasks, such as component disentanglement and signal detection procedures, have already been renewed by using modern spatial statistics onthe pattern of zeros. Tough, they require cautious choice of both the discretization strategy and the observation window in the time-frequency plane. To overcome these limitations, we propose a generalized time-frequency representation: the Kravchuk transform, especially designed for discrete signals analysis, whose phase space is the unit sphere, particularly amenable to spatial statistics. We show that it has all desired properties for signal processing, among which covariance, invertibility and symmetry, and that the point process of the zeros of the Kravchuk transform of complex white Gaussian noise coincides with the zeros of the spherical Gaussian Analytic Function. Elaborating on this theorem, we finally develop a Monte Carlo envelope test procedure for signal detection based on the spatial statistics of the zeros of the Kravchuk spectrogram.

Outline: After, reviewing the unorthodox path focusing on the zeros of the standard spectrogram and the associated theoretical results on the distribution of zeros in the case of white noise, I will introduce the Kravchuk transform and study the random point process of its zeros from a spatial statistics perspective. Then I will present the designed Monte Carlo envelop test, and illustrate its numerical performance in adversarial settings, with both low signal-to-noise ratio and small number of samples, and compare it to state-of-the-art zeros-based detection procedures.

Conférences passées :

We give a geometric approach for boundary value problems of the Laplacian with Dirichlet (or mixed) boundary conditions on domains with singularities. In two dimensions these singularities also include cusps. Our approach is by blowing up the singularities via a conformal change to translate the boundary problem to one on a noncompact manifold with boundary that is of bounded geometry and of finite width. This gives a natural geometric interpretation in the appearing weights and additional conditions needed to obtain well-posedness results.

An important property of derivations and its multi-dimensional generalizations such as vector fields is their closure under taking linear combinations, allowing them to form a vector space. This is not true in general. The conditions under which linear combinations of multiple copies of a given operation still have the same properties of this operation is called a linear compatibility condition. In recent years, a large number of similar structures have appeared, from applications in mathematics and mathematical physics. Our goal is to obtain a general understanding.

This is based on joint work with Xing Gao and Huhu Zhang.

Les systèmes de particules sont des outils souvent utilisés pour modéliser des populations interagissant entre elles et/ou avec un environnement extérieur. Nous introduirons un modèle appelé N-BMP (N-processus de Markov branchant) dans lequel les particules ont des trajectoires indépendantes sur la droite réelle, et se séparent en deux (on parle de branchement) à des instants aléatoires successifs indépendants et distribués selon une loi exponentielle. Pour garder une population de taille constante au cours du temps, la particule la plus basse est tuée à chaque instant de branchement.

Nous étudierons la limite hydrodynamique de ce processus, c’est-à-dire le comportement du processus obtenu quand le nombre N de particules tend vers l’infini. Le cas où les particules ont des trajectoires browniennes a notamment été étudié depuis 2017, et mis en relation avec un problème à frontière libre associé à l’équation de la chaleur. Nous présenterons les résultats que nous avons obtenus, qui donnent un cadre plus général dans lequel le N-BMP a une limite hydrodynamique, en faisant intervenir une frontière analogue à celle qui apparaît dans le cas brownien.

In this survey talk based on [1] and [2],  I will present the construction of non-archimedean models for T_an, exp; the elementary theory of the reals with restricted analytic functions and unrestricted exponential function. Starting with an arbitrary linearly ordered set L I will show step by step how to construct the real closed exponential logarithmic field $\mathbb{R}(( L))^{EL}$.

All notions and notations will be introduced in this talk aimed at a general audience.

References:

[1] F.-V. Kuhlmann and S.Kuhlmann, *Explicit construction of exponential- logarithmic power series*, Séminaire de Structures Algébriques Ordonnées 1995-1996, Vol. 61, 7 pp. (1997)
Equipe de Logique Mathématique, Prépublications, Université Paris VI et VII (1997)

[2] S. Kuhlmann, *Ordered Exponential Fields*, The Fields Institute Monograph Series, vol 12. Amer. Math. Soc. 2000.

Sur un corps de caractéristique positive p, les algèbres de Lie restreintes sont d’un intérêt primordial, principalement en raison de leur lien avec les groupes algébriques et de leur rôle dans la théorie des représentations et la classification. La cohomologie associée aux algèbres de Lie restreintes est considérablement plus compliquée que la cohomologie ordinaire de Chevalley-Eilenberg et des formules explicites ne sont connues que jusqu’à l’ordre 2. Dans cet exposé, j’expliquerai comment construire le premier et deuxième groupes de cohomologie restreinte pour les superalgèbres de Lie restreintes en caractéristique p supérieure à 3, en modifiant une construction précédente. J’expliquerai comment ces groupes capturent certaines structures algébriques, telles que les extensions restreintes. De plus, je montrerai comment appliquer cette construction pour classifier les superalgèbres de Lie restreintes p-nilpotentes jusqu’à la dimension 4 sur un corps algébriquement clos de caractéristique p supérieure à 3. Ce travail est en collaboration avec Sofiane Bouarroudj (New York University Abu Dhabi).

Les séries de Taylor de l’exponentielle en zéro et du logarithme en 1 admettent des propriétés combinatoires telles que lorsqu’il est possible de les évaluer en des endomorphismes linéaires suffisamment petits (nilpotents, contractants . . . ), d’une algèbre A, elles induisent une correspondance bijective entre dérivations sur A et automorphismes de A. Cette correspondance est notamment bien connue en théorie des groupes de Lie.
Afin de l’étudier dans un contexte plus général et de dimension infinie, nous proposons un formalisme dans lequel des espaces vectoriels et algèbres sont équipés d’une notion axiomatique de sommabilité de familles infinies, étendant les propriétés des opérateurs de sommation de familles à support fini. L’exemple naturel d’une telle notion est la notion de sommabilité formelle dans les espaces de séries généralisées (séries de Hahn).
En utilisant la sommabilité infinie dans une telle algèbre A, nous pouvons définir l’exponentielle et le logarithme comme fonctions sur A, et réduire cette correspondance à des identités formelles universelles (déjà connues). Nous montrerons qu’une partie de la correspondance de Lie est alors satisfaite pour A.

Prenez une feuille de papier A4, puis recollez les côtés opposés. Vous y arrivez ? Même si vous n’y arrivez pas avec vos mains, la puissance de l’abstraction mathématique fait qu’on peut toujours l’imaginer et travailler avec l’objet ainsi obtenu. Ce qu’on obtient est un tore plat, et on obtiendra un autre tore plat en recollant les côtés opposés de n’importe quel parallélogramme. Cet objet apparaît un peu par-ci par-là dans toutes les mathématiques modernes. Lorsqu’on le côtoie au quotidien, l’envie de le faire vraiment en papier, en tant qu’objet tangible, devient de plus en plus forte. Dans cet exposé je présente une famille de réalisations polyédrales de tores plats, les diplotores, inventés par Ulrich Brehm. Ce sont des polyèdres qui, géométriquement sont partout plats. Avec Pierre Arnoux (Marseille) et Samuel Lelièvre (Orsay), nous avons montré que tout tore plat peut être réalisé comme diplotore.

N-graded symplectic Q-manifolds encompass a lot of well-known mathematical structures, such as Poisson manifolds, Courant algebroids, etc. Their Lagrangian Q-submanifolds are of special interest, since
they simultaniously generalize coisotropic submanifolds, Dirac-structures and also serve as boundary conditions in AKSZ sigma models. In this talk we set up their deformation theory inside a symplectic Q-manifold via strong homotopy Lie algebras, which generalizes knows results including the deformation theory of coisotropic submanifolds and Dirac structures.
This is a joint work with Miquel Cueca.

La théorie des Yangiens a été introduite par Drinfeld dans les années 80 en tant qu’approche systématique pour résoudre l’équation de Yang-Baxter. Récemment, Gautam, Toledano Laredo et Wendlandt ont présenté une alternative à la construction de la R-matrice pour le Yangien du type fini, qui s’avère être considérablement plus générale que la méthode originale de Drinfeld au niveau des représentations. Dans cette présentation, je vous offrirai un aperçu de ce résultat tout en exposant sa généralisation aux Yangiens de types affines. Ces développements sont issus d’une collaboration avec S. Gautam et C. Wendlandt.

Dans cet exposé, je vais donner un aperçu des barycentres de Wasserstein. Le barycentre de Wasserstein correspond à la moyenne de Fréchet (une généralisation de la moyenne pour les espaces métriques) d’une variable aléatoire sur l’espace Wasserstein d’ordre 2. L’espace Wasserstein d’ordre 2 est l’espace de mesures de probabilités de moment d’ordre 2 fini, muni d’une métrique induite par la théorie de transport optimal. Je vais commencer par donner une petite résumé des outils de transport optimal dont nous aurons besoin. Ensuite je vais présenter quelques propriétés analytiques du barycentre de Wasserstein et expliquer les difficultés liées à l’étude de cet objet. Enfin, nous allons étudier le propriétés probabilistes dont la loi des grandes nombres et une idée heuristique de la théorème centrale limite qui peut être rendue rigoureuse en introduisant une régularisation du barycentre.

Dans cet exposé je présente de nouvelles q-déformations d’algèbres de Lie liées au groupe modulaire et aux q-rationnels de Morier-Genoud et Ovsienko. En particulier, nous analysons une déformation de l’algèbre de Lie sl2 et de l’algèbre de Witt, l’algèbre des champs de vecteurs sur le cercle. Ces déformations proviennent d’une réalisation par des opérateurs différentiels concrets et mènent à des homographies intéressantes sur le plan hyperbolique.

Due to its nice geometric properties and an astonishing number of applications, probably one of the most intensively studied metrics nowadays is the p-Wasserstein metric. Given a complete and separable metric space M and a positive real number p, one defines the p-Wasserstein space Wp(M) as the set of all Borel probability measures with a finite p-th moment, endowed with a metric which is calculated by means of transport plans.

First I will talk about Kantorovich’s transport problem. After that, I will define the so-called p-Wasserstein metric, and show some nice features of it. In the second part of the talk, I will focus on isometries. The question is how does an isometry of a p-Wasserstein space look like? One can show that if F is an isometry of M, then its push-forward F# is an isometry of Wp(M). In other words, the isometry group of M embeds into the isometry group of Wp(M). A natural question arises: is this embedding surjective? In most of the known cases, the answer is yes. However, there are examples where the Wasserstein space admits « exotic isometries ». The goal of the talk is to present these exotic isometries.

Les algèbres de Hopf de la renormalisation ont vocation à représenter le groupe de renormalisation en théorie quantique perturbative des champs, qui est un groupe de difféomorphismes formels. Ceci est possible seulement si l’algèbre de Hopf est commutative, mais en électrodynamique quantique l’algèbre de renormalisation ne l’est pas. Dans cet exposé, j’explique comment cette algèbre de Hopf non commutative peut bien représenter les difféomorphismes formels de manière standard (fonctorielle), si on renonce à l’associativité de la composition et on les considère comme un « loop » (groupe non associatif).

Dulac’s problem studies if an analytic two dimensional vector field defines a finite number of limit cycles in some neighborhood of a singular point. Y. Ilyashenko and J. Ecalle gave a positive answer to this problem in the years 1991-1992. The vector fields that are perturbations of linear centers in R^2 form a family of vector fields for which Dulac’s problem is easily solved studying analytic diffeomorphism given by the first return map.

In this work, we consider the family H_3 of perturbations of linear centers in R^3 and solve the problem of finiteness of limit cycles, related with the classical Dulac’s problem.

Real generalized analytic functions are locally defined as sums of convergent generalized power series with coefficients in the real numbers; that is, power series whose exponents belong to a product of well-ordered sets of positive real numbers. In this talk we will introduce generalized analytic manifolds and the blowing-up morphisms between them. We will see that blowing-ups may exist or not depending on the existence of an “standard analytic substructure”. We will state several results of reduction of singularities for generalized analytic functions and we will expose with details the “stratified version”. This is a work in collaboration with Jesús Palma Márquez and Fernando Sanz Sánchez.

On utilise de nouvelles approximations (rationnelles) de l’exponentielle d’une matrice et de fonctions associées (« phi functions ») pour définir des schémas numériques pour les EDO. Divers tests montrant l’efficacité de ces schémas sont présentés.

 It is well known that the Hochschild cohomology HH^*(A, A) of an associative algebra A with coefficients in itself is a Gerstenhaber algebra (G-algebra, in short), and it turns out to be a BV-algebra for a finite dimensional unital symmetric algebra A. The BV operator is induced by dualizing the Connes’ map in the Hochschild complex. Mihai D. Staic in 2014 introduced a new Hochschild cohomology theory, called secondary Hochschild cohomology of the triple (A, B, \epsilon), where A is an algebra, B is a commutative algebra and \epsilon is an algebra map from B to A such that image of \epsilon is contained in the centre of A. This cohomology also turns out to be G-algebra. In this talk, we highlight that the dualizing of Connes’ map in this context does not yield a BV-operator in the case of a finite dimensional unital symmetric algebra A. We introduce the notion of a BV-operator on the homotopy G-algebra level such that the Gerstenhaber bracket on cohomology is determined by the BV-operator in a manner similar to the BV-formalism. As an application, we produce a BV-operator on the cochain complex defining the secondary Hochschild cohomology of a symmetric algebra A over a commutative algebra B.
 
This is a joint work with Abhishek Banerjee and Mamta Balodi.

In this talk, we present a posteriori estimates for finite element approximations of nonlinear elliptic problems satisfying strong-monotonicity and Lipschitz-continuity properties. These estimates include, and build on, any iterative linearization method that satisfies a few clearly identified assumptions; this includes the Picard, Newton, and Zarantonello linearizations. The estimates give a guaranteed upper bound on an augmented energy difference reliability with constant one, as well as a lower bound efficiency up to a generic constant. We prove that for the Zarantonello linearization, this generic constant only depends on the space dimension, the mesh shape regularity, and possibly the approximation polynomial degree in four or more space dimensions, making the estimates robust with respect to the strength of the nonlinearity. For the other linearizations, there is only a local and computable dependence on the nonlinearity. Numerical experiments illustrate and validate the theoretical results, for both smooth and singular solutions.

Dans cet exposé, nous montrerons une connexion entre les structures de régularité développées pour les équations aux dérivées partielles stochastiques et les chemins rugueux géométriques. Celle-ci est réalisée en identifiant l’algèbre de Hopf de Butcher-Connes-Kreimer déformée avec un quotient de l’algèbre de Hopf de shuffle. Ce nouveau résultat algébrique s’appuie fortement sur le formalisme de déformation
et des structures post-Lie récemment introduites dans le cadre des structures de régularité.

A Lie 2-group is a groupoid on the category of Lie groups just like Lie groupoids are groupoids in the category of manifolds. To expand this logic, we get PB-groupoids as groupoids in the category of principal bundles, this is, a Lie groupoid with a free and proper action of a Lie 2-group (free and properness implies that the quotient space is still a Lie groupoid). On another context, bundles gerbes are well-studied objects, and are also described as a quotient of a Lie groupoids. In this talk we will introduce more slowly all these objects and prove that see that bundles gerbes sit inside PB-groupoids.

On considère une plaque élastique 3 dimensionnelle de petite épaisseur fixée sur un support sur son bord inférieur. La plaque va être déformée par les forces du corps (comme la gravité), ou bien parce que la loi du comportement du matériau est liée à une géométrie du domaine au repos incompatible avec la géométrie ambiante, tandis que la partie fixée sera restée sur place. On commence par une modélisation variationnelle de ce phénomène dans le cadre de l’élasticité non-linéaire 3d. Un premier problème est d’obtenir des modèles variationnels limites en comprenant comment l’hypothèse de support passe à la limite à l’épaisseur 0. On expliquera l’approche de la $\Gamma$-convergence, basée sur laquelle on s’attend à voir une hiérarchie des modèles de plaques obtenus selon les paramètres imposés. Dans un deuxième pas, dans chaque cas, le modèle de limite- pour les
déformations d’une plaque mince sujet à une contrainte de support- sera à son tour la case du départ pour un problème de support optimal.
Ce travail est une collaboration avec Antoine Lemenant.

En apprentissage automatique et en problèmes inverses, il est parfois nécessaire de générer ou de déformer un nuage de points de sorte à approcher une mesure de probabilité modèle $\rho$. Une manière naturelle d’y parvenir est de chercher à minimiser la distance de Wasserstein de la mesure uniforme sur le nuage de points par rapport à la distribution modèle.

$$ \min_{y_1,\hdots,y_N\in\mathbb{R}^N} F(y_1,\hdots,y_N) := \mathrm{W_2}\left(\frac{1}{N}\sum_{1\leq i\leq N}\delta_{y_i},\rho\right),$$
Ce problème de minimisation est une variante du problème bien connu de la quantization optimal (cf Fejes-Toth, Gruber, Graf-Luschgy, Pagès, etc.), très étudié pour ses applications en statistiques, approximation, maillage, etc. La fonctionnelle minimisée n’est pas convexe et admet des points critiques dont l’énergie est beaucoup plus grande que celle du minimiseur. Pourtant, très souvent, les méthodes de descente de gradient mènent à des configurations présentant une énergie faible. Nous expliquons quantitativement ce comportement, en montrant en particulier que si les points initiaux ne sont pas trop proches les uns des autres, alors une seule étape de l’algorithme de Lloyd est suffisante pour obtenir une bonne approximation de la mesure approchée (collaboration avec Filippo Santambrogio et Clément Sarrazin). Je parlerai également d’un résultat plus récent, qualitatif, montrant en dimension $d=2$ que l’énergie de quantification des points critiques stables de l’énergie est en réalité commensurable à l’énergie du minimiseur (collaboration avec Alessio Figalli et Filippo Santambrogio).

Etant donne un feuilletage sur une variete compacte, les formes basiques sont les formes differentielles qui s’expriment localement en termes des variables transverses. L’espace des formes basiques est preserve par la differentielle exterieure, ce qui permet definir la cohomologie basique. Cette cohomologie a ete etudiee dans plusieurs contextes et en particulier sur des feuilletages riemanniens. Etant donnee une metrique riemannienne, l’adjoint de la differentielle exterieure preserve le complement orthogonal des formes basiques, and la cohomologie definie a partir de cet adjoint sera appellee la  »cohomologie antibasique ». Ainsi, nous etudions les proprietes de cette cohomologie et montrons un theoreme de Hodge antibasique. Aussi nous etablissons quelques relations entre la cohomologie basique, antibasique et celle de la variete ambiante.

Thème : Overlay par Kaira.