Dans cet exposé introductif, je voudrais présenter, de la manière la plus élémentaire possible et sans entrer dans des détails techniques, quels sont les enjeux de la réunion scientifique intitulée :
Problème de Dulac : nouvelles perspectives, un siècle plus tard,
réunion qui est organisée ici même à Mulhouse.
Les cycles limites d’un champ de vecteurs sont les orbites périodiques isolées de ce champ. En 1923 , Henri Dulac a établi que tout champ de vecteurs polynomial du plan n’a qu’un nombre fini de cycles limites. Il apportait ainsi une première réponse, partielle, au seizième problème de Hilbert.
Pendant presque 50 ans ce résultat a été accepté par la communauté sans que la preuve donnée par Dulac n’ait été vraiement étudiée. Il a fallu attendre les années 70 pour que Freddy Dumortier, voulant faire un cours sur les champs de vecteurs polynomiaux et en particulier sur le résultat de Dulac, alerte Robert Moussu sur la difficulté qu’il avait à comprendre la preuve de Dulac. Robert Moussu a ensuite diffusé cette question dans la communauté. Quelques années plus tard, Yulij Ilyashenko a montré que la preuve de Dulac contenait une erreur manifeste, dans le sens que les propriétés qu’il utilisait étaient insuffisantes pour obtenir le résultat annoncé. De ce fait le “résultat” de Dulac est devenu le “problème” de finitude Dulac.
Cet avatar a eu pour effet bénéfique de relancer les recherches sur le sujet. Avec des méthodes beaucoup plus élaborées que celles de Dulac, Ilyashenko a réussi en 1984 à combler partiellement le “trou” de la preuve de Dulac. Puis en 1991, Yulij Ilyashenko et Jean Ecalle, indépendamment, ont présenté des démonstrations complètes du problème de finitude. Hélas, il est apparu assez récemment que que ces preuves présentaient encore quelques difficultés. Celà a motivé Melvin Yeung pour s’attaquer à son tour au problème de Dulac. Il vient à Mulhouse pour faire le point sur l’état du sujet.